Question

5．已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）=f（1-x），又当x∈[0，1]时，f（x）=x，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x（x＞0）}\\{{4}^{x}（x≤0）}\end{array}\right.$，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-4，4]上的零点个数为（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 9
• D． 7

Answer 1

分析 由题意可得f（-x）=f（x）=f（2-x），即有f（x）的图象关于x=1对称，同时关于y轴对称，分别画出y=f（x），y=g（x）的图象，观察图象交点即可得到所求零点个数．

解答 解：偶函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）=f（1-x），
可得f（-x）=f（x）=f（2-x），
即有f（x）的图象关于x=1对称，
同时关于y轴对称，
由当x∈[0，1]时，f（x）=x，
可得f（x）在[-4，4]的图象，
可令函数h（x）=f（x）-g（x）=0，
可得f（x）=g（x），
画出y=g（x）的图象，
观察可得它们共有7个交点．
即函数h（x）在[-4，4]内有7个零点．
故选：D．

点评 本题考查函数方程的转化思想的运用，考查函数的奇偶性和周期性的运用，同时注意数形结合的思想方法，考查画图和识图能力，属于中档题．