Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一点P满足：PF₁≥2PF₂则点P 的纵坐标的取值范围为[$\frac{4}{3}，2$]．

Answer 1

分析 由椭圆方程求出椭圆的离心率，由已知结合椭圆定义得到PF₂ 的范围，再由椭圆第二定义转化为P的纵坐标求解．

解答 解：由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得a²=4，b²=3
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$，
则e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
由PF₁+PF₂=2a=4，PF₁≥2PF₂ ，得4=PF₁+PF₂≥3PF₂，
∴$P{F}_{2}≤\frac{4}{3}$，
再由$\frac{P{F}_{2}}{\frac{{a}^{2}}{c}-{y}_{P}}-e=\frac{1}{2}$，得$P{F}_{2}=\frac{1}{2}（\frac{{a}^{2}}{c}-{y}_{P}）=\frac{1}{2}（4-{y}_{P}）$，
∴$\frac{1}{2}（4-{y}_{P}）≤\frac{4}{3}$，得${y}_{P}≥\frac{4}{3}$，又P在椭圆上，
∴$\frac{4}{3}≤{y}_{P}≤2$．
故答案为：[$\frac{4}{3}，2$]．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，借助于椭圆定义求解是关键，是中档题．