Question

【题目】已知函数，若函数在上存在两个极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）求出，分析的符号，的根的个数满足的条件.

（Ⅱ）不妨设，令，，将目标不等式的参数减少，用分析的方法最后证明：，构造函数证明即可.

（Ⅰ）函数的定义域为，

因为，

令

所以.

当时，，

所以函数在上单调递增.

即在上单调递增，

在上至多一个零点，

所以在上至多一个极值点，不满足条件.

当时，由，得（负根舍去），

当时，，

当时，，

所以函数在）上单调递减；

在上单调递增.

所以，

要使函数在上存在两个极值点

则函数有两个零点，即有两个零点

首先，解得.

因为，且，

下面证明：.

设，

则.

因为，所以.

所以在上单调递减，

所以.

所以实数的取值范围为.

（Ⅱ）因为，是函数的两个极值点，

所以，是函数的两个零点

即，是函数的两个零点，

不妨设，令，则.

所以即.

所以，即，，.

要证，需证.

即证，即证.

因为，所以即证．

设，

则.

所以在上单调递减，

所以.

所以.