Question

10．已知函数$f（x）=\frac{3x}{a}-2{x^2}+lnx$，其中a为常数．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a=1得f（x）的解析式，求导，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分别得出x的取值范围，即f（x）的单调区间；
（2）由函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，得f′（x）≥0，分离出a，把右边看为函数，得到函数的单调性得最值，得关于a的不等式，求解得a的取值范围．

解答 解：（1）若a=1时，f（x）=3x-2x²+lnx，定义域为（0，+∞）
f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x+3=$\frac{-（4x+1）（x-1）}{x}$（x＞0）
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），
函数f（x）=3x-2x²+lnx单调增区间为（0，1），
函数f（x）=3x-2x²+lnx单调减区间为（1，+∞）．
（2）f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$，
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调增函数，
即f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$≥0在[1，2]恒成立，
即$\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函数h（x）在[1，2]上单调递增．
所以$\frac{3}{a}$≥h（2），故$\frac{3}{a}$≥$\frac{15}{2}$，0＜a≤$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了利用导数求函数的单调性，和其逆问题，由单调性来确定导数非负或非正，分离参数，利用函数的思想，求最值，得关于a的不等式．