Question

17．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．
（Ⅰ）证明：BE=DE；
（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出辅助线，根据AB⊥OE，AB⊥CD，可得OE∥CD，又O为BC的中点，得E为BD的中点，即可证得结论；
（Ⅱ）设AC=t（t＞0），由射影定理，根据三角形中的知识，即可求得比值．

解答 证明：（Ⅰ）连接AB、OE，
∵EA、EB为圆O的切线，
∴OE垂直平分AB，
又∵BC为圆O的直径，
∴AB⊥CD，∴OE∥CD，
又O为BC的中点，
故E为BD的中点，
∴BE=ED      …（5分）
解：（Ⅱ）设AC=t（t＞0），则AD=3t，CD=4t，
在Rt△BCD中，由射影定理可得：BD²=DA•DC=12t²，
∴BD=2$\sqrt{3}$t，
在Rt△ABD中，AE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$t．
∴AE：AC=$\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查射影定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．