Question

7．已知函数f（x）是定义在R上的函数，且f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2，f（0）=0，则f（2016）=2016．

Answer 1

分析 再根据条件f（x+3）≤f（x）+3，得到f（x+6）≤f（x）+6，根据条件f（x+2）≥f（x）+2，得到f（x+6）≥f（x）+6，从而f（x+6）=f（x）+6，推出f（2016）=f（6）+2010，得出结论．

解答 解：∵f（x+3）≤f（x）+3，
∴f（x+6）≤f（x+3）+3≤f（x）+3+3=f（x）+6，
又f（x+2）≥f（x）+2，
∴f（x+6）≥f（x+4）+2≥f（x+2）+2+2≥f（x）+2+2，
即f（x+6）≥f（x）+6，
∴f（x+6）=f（x）+6，
∴f（2016）=f（2016-6）+6=f（2016-2×6）+2×6=…
=f（2016-335×6）+335×6=f（6）+2010=6+2010=2016，
故答案为：2016．

点评 本题主要考查赋值法求抽象函数值，以及两边夹法则求值和关系式，简单的归纳推理，根据不等式的关系，从而得到f（x+6）=f（x）+6，这是解决抽象函数的常用方法，应掌握．