Question

【题目】已知椭圆经过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上的点，直线与（为坐标原点）的斜率之积为．若动点满足，试探究是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)利用椭圆的离心率计算公式和点在椭圆上列方程组求解即可得出．
(Ⅱ)利用向量的坐标运算、点在椭圆上满足椭圆的方程、斜率计算公式及其椭圆的定义即可得出．

试题解析：

(Ⅰ)∵ ∴

又∵椭圆经过点 ∴

解得：，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）设，，，则由得

即，，

因为点在椭圆上，

所以，

故

设，分别为直线与的斜率，由题意知，

，因此

所以，

所以点是椭圆上的点，

所以由椭圆的定义知存在点，满足为定值

又因为，

所以坐标分别为、．