Question

18．定义在R上的奇函数满足f（2+x）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$
（1）讨论f（x）在（0，1）上的单调性；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当$\frac{2}{5}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，解关于x的不等式f（x）≥a．

Answer 1

分析 （1）用定义法证明函数的单调性，作差，变形，判号，得出结论四步，
（2）利用奇函数的性质求解，其步骤是先设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），求出f（-x），再利用奇函数的性质，得到 f（x）=-f（-x）求出x∈（-1，0），上的表达式，再由所给的恒等式求出自变量为-1，0，1时的函数值为零，用分段函数写出解析式．
（3）利用换元法将不等式进行转化，结合一元二次不等式的解法进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）在（0，1）上是减函数，证明如下
当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{x{\;}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）（{2}^{{x}_{1+}{x}_{2}}-1）\;\;}{（\;{4}^{{x}_{1}}+1）（{4}^{{x}_{2}}+1）\;\;}$
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}$＞0，2${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递减
（2）解：当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$
由f（0）=f（-0）=-f（0），且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在区间[-1，1]上，有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}\;\;\;\;\;x∈（0，1）}\\{-\frac{2{\;}^{x}}{4{\;}^{x}+1}\;\;\;\;x∈（-1，0）}\\{0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈\{-1，0，1\}}\end{array}\right.$．
（3）∵f（x）在（0，1）上的单调单调递减，
∴f（1）＜f（x）＜f（0），
即$\frac{2}{5}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，
由f（x）≥a得$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$≥a，
即2^x≥a4^x+a，
即a4^x-2^x+a≤0，
即a（2^x）²-2^x+a≤0，
令t=2^x，则不等式等价为at²-t+a≤0，
解得$\frac{-1-\sqrt{1-{a}^{2}}}{2a}$≤t≤$\frac{-1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{2a}$，
即0＜t≤$\frac{-1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{2a}$，
则0＜2^x≤$\frac{-1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{2a}$，
则x≤log₂$\frac{-1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{2a}$，
即不等式的解集为（-∞，log₂$\frac{-1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{2a}$]．

点评 本题考查复杂函数的单调性证明以及利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，思路简单，运算变形较繁，是一道提高答题者耐心的好题．