Question

8．设M是圆C₁：x²+（y-2）²=1上的动点，N是圆C₂：（x-4）²+（y-1）²=1上的动点，P是直线l：x-y-1=0上的动点，则|PM|-|PN|的最大值是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}+2$
• D． $\sqrt{17}$

Answer 1

分析 由于PM-PN≤（PC₁+1）-（PC₂-1）=2+PC₁-PC₂．设C₂（4，1）关于直线l：x-y-1=0的对称点为C₃ （ 2，3），则2+PC₁-PC₂ =2+PC₁-PC₃=≤|C₁C₃|+2≤$\sqrt{5}$+2，由此可得|PM|-|PN|的最大值．

解答 解：圆C₁：x²+（y-2）²=1的圆心为C₁：（0，2）、半径等于1，
C₂：（x-4）²+（y-1）²=1的圆心C₂（4，1）、半径为1，
PM-PN≤（PC₁+1）-（PC₂-1）=2+PC₁-PC₂．
设C₂（4，1）关于直线l：x-y-1=0的对称点为C₃ （ h，k），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k-1}{h-4}×1=-1}\\{\frac{h+4}{2}-\frac{k+1}{2}-1=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{h=2}\\{k=3}\end{array}\right.$，可得C₃ （2，3），
则2+PC₁-PC₂ =2+PC₁-PC₃=≤|C₁C₃|+2≤$\sqrt{5}$+2，
即当点P是直线C₁C₃和直线l的交点时，|PM|-|PN|取得最大值为$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查圆和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．