Question

【题目】已知动直线l与椭圆C：交于，两个不同的点，O为坐标原点．

若直线l过点，且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；

若的面积，求证：和均为定值；

椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（3）见解析

【解析】

先设直线方程为，根据原点到直线l的距离为，列出方程即可求出，进而可得出结果；

分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等即可证明结论成立；

先假设存在，，，使得，结合(2)中的结果推出矛盾即可.

设直线方程为，原点到直线l的距离为，，

解得时，此时直线方程为，

当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，

所以，，在椭圆上，

又，

由得，此时，；

当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为，将其代入得

，

即，又，，

，

点O到直线l的距离为，

又，即

整理得，

此时，

；

综上所述，结论成立．

椭圆C上不存在三点D，E，G，使得，

证明：假设存在，，，使得

由得，，；，，

解得；．

因此u，，只能从中选取，

v，，只能从中选取，

因此点D，E，G，只能在这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾．

所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．