Question

【题目】已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明:直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意列出方程组，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结设，由椭圆的性质可得出，故而可得，当斜率不存在时，设，解出，当直线斜率存在时，设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出，得出与的关系，代入直线方程即可得定点.

（1）因为，所以，即椭圆的方程为

（2）连结设则

因为点在椭圆上，所以

因为，所以

当斜率不存在时，设，不妨设在轴上方，

因为，所以

（ii）当斜率存在时，设，

即，所以

因为

所以，即或

当时，，恒过定点，当斜率不存在亦符合:当，，过点与点重合，舍去.

所以直线恒过定点