Question

9．已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（x）＜0（x＞0）．试判断F（x）=$\frac{1}{f（x）}$在（0，+∞） 上的单调性并给出证明过程．

Answer 1

分析 首先，设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后根据函数f（x）的单调性进行证明即可．

解答 解：函数F（x）=$\frac{1}{f（x）}$为（0，+∞）上减函数，证明如下：
任设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，
F（x₁）-F（x₂）=$\frac{1}{f（{x}_{1}）}$-$\frac{1}{f（{x}_{2}）}$=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
∵f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，
∴f（x₁）•f（x₂）＞0，
∴F（x₁）-F（x₂）＞0，
即F（x₁）＞F（x₂），
则F（x）为（0，+∞）上的减函数．

点评 本题主要考查函数的单调性的应用，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．，属于中档题．