Question

19．判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
（1）f（x）=x²-|x|+1；
（2）f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x}{x+1}$；
（3）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$；
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x）（x＜0）}\\{x（1+x）（x＞0）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-|x|+1；
则f（-x）=（-x）²-|-x|+1=x²-|x|+1=f（x），
则f（x）为偶函数．
（2）由x+1≠0得x≠-1，即函数的定义域为{x|x≠-1}，定义域关于原点不对称，则f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x}{x+1}$为非奇非偶函数；
（3）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥1}\end{array}\right.$，即x²=1，即x=±1，则函数的定义域为{1，-1}，
则f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=0，则f（x）既是奇函数也是偶函数．
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x）（x＜0）}\\{x（1+x）（x＞0）}\end{array}\right.$．
当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=-x（1-x）=-f（x），
当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=-x（1+x）=-f（x），
综上恒有f（-x）=-f（x），即函数为奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．