Question

（本小题满分13分）

已知函数f(x)=ln²(1+x)-.

(I)  求函数的单调区间;

（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.

求的最大值.

Answer 1

(I) 函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.

（Ⅱ）a的最大值为

解析:

（Ⅰ）函数的定义域是，

设则

令则

当时，  在（-1，0）上为增函数，

当x＞0时，在上为减函数.

所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，

函数g(x)在上为减函数.

于是当时，

当x＞0时，

所以，当时，在（-1，0）上为增函数.

当x＞0时，在上为减函数.

故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.

（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，

  设则

由（Ⅰ）知，即

所以于是G(x)在上为减函数.

故函数G（x）在上的最小值为

所以a的最大值为