Question

6．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx，g（x）=xe^-x
（Ⅰ）求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）对任意x₁∈[1，3]，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数的恒等变换，化简f（x），求出f（x）＞0时的解集；
（Ⅱ）根据题意，不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立转化为g（x₁）+a+3在[1，3]上的最小值大于f（x₂）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值；利用函数的单调性求出对应的最值，列出不等式求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=cos2x+1+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由f（x）＞0，得2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1＞0，
即sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞-$\frac{1}{2}$，
∴2kπ-$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{7π}{6}$（k∈Z），
即kπ-$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z）；
∴不等式f（x）＞0的解集为（kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{2}$），（k∈Z）；
（Ⅱ）对任意x₁∈[1，3]，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，
要使不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立，
只须g（x₁）+a+3在[1，3]上的最小值大于f（x₂）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值即可；
当x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]时，有2x₂+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即有0≤2sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）+1≤3；
∴当x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x₂）的最大值为3，f（x₂）的最小值为0．
又由g（x）=xe^-x得g′（x）=e^-x-xe^-x=（1-x）e^-x，
令g′（x）=（1-x）e^-x=0，解得x=1；
∴当x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时g′（x）＜0；
∴g（x）在区间（-∞，1）内是增函数，在区间（1，+∞）内是减函数；
∴g（x）在区间[1，3]上是减函数，当x₁∈[1，3]时，g（x₁）有最小值为g（3）=$\frac{3}{{e}^{3}}$，
∴g（x₁）+a+3的最小值为$\frac{3}{{e}^{3}}$+a+3；
令$\frac{3}{{e}^{3}}$+a+3＞3，得a＞-$\frac{3}{{e}^{3}}$，
∴实数a的取值范围是（-$\frac{3}{{e}^{3}}$，+∞）．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与不等式的解法与应用问题，也考查了利用导数求函数的单调性与最值问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．