Question

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证DM∥平面APC； 
（2）求证平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=PC=4，求二面角P-AB-C的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出MD∥AP，由此能证明DM∥平面APC．
（2）由已知条件推导出MD⊥PB，AP⊥PB，由此得到AP⊥平面PBC，从而得到AP⊥BC，由此能证明平面ABC⊥平面PAC．
（3）以D为原点，DB、DC、DM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的正弦值．

解答： （1）证明：∵M为AB中点，D为PB中点，
∴MD∥AP．
又∵MD?平面APC，
∴DM∥平面APC．
（2）证明：∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，
∴MD⊥PB．
又由（1）知，MD∥AP．∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，
∴AP⊥平面PBC．
∴AP⊥BC．
又∵AC⊥BC，
∴BC⊥平面APC．
∴平面ABC⊥平面PAC．
（3）解：∵BC=PC=4，设PB=PM=BM=a，则PB=2a，
由题意知

4a2-16=AC2 AC2-16=AP2 AP2+a2=4a2

，
解得a=4

2

，
以D为原点，DB、DC、DM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（-2

2

，0，4

6

），B（2

2

，0），C（0，2

2

，0），
∴

AB

=(4

2

，0，-4

6

)，

AC

=(2

2

，2

2

，-4

6

)，
设平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，
∴

n • AB =4 2 x-4 6 z=0 n • AC =2 2 x+2 2 y-4 6 z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，

3

，1），
由题意知平面PAB的法向量

m

=(0，1，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

3

7

，
设二面角P-AB-C的平面角为θ，
则sinθ=

1-( 3 7 )2

=

2 7

7

．
∴二面角P-AB-C的正弦值为

2 7

7

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．