Question

2．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{n-1}}（n≤5）}\\{\frac{2}{{3}^{n}}（n≥6）}\end{array}\right.$（n∈N^*），设S为数列{a_n}的各项和，则S=$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{{2}^{n-1}}，n≤5}\\{\frac{47}{16}-（\frac{1}{3}）^{n-5}，n≥6}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 当n≤5时，${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$，为等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．当n≥5时，a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$，为等比数列，首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$，
利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：当n≤5时，${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$，为等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$，S=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
当n≥5时，a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$，为等比数列，首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$，
∴S=S₅+$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n-5}]}{1-\frac{1}{3}}$
=$2-\frac{1}{{2}^{4}}$+1-$（\frac{1}{3}）^{n-5}$
=3-$\frac{1}{16}$-$（\frac{1}{3}）^{n-5}$．
故答案为：S=$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{{2}^{n-1}}，n≤5}\\{\frac{47}{16}-（\frac{1}{3}）^{n-5}，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．