Question

17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，$\overrightarrow{m}$=（b，cosB），$\overrightarrow{n}$=（2a-c，cosC）且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求
（1）角B的大小．
（2）sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量的平行结合正弦定理求出B的值即可；（2）根据三角函数的性质求出sinA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），结合A的范围求出sinA+sinC的范围即可．

解答 解：（1 ）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，
由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
又B+C=π-A
∴sinA=2sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）sinA+sinC
=sinA+sin（$\frac{2}{3}$π-A）
=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
故$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sinA+sinC＜$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行向量的性质，考查正弦定理以及三角函数的性质，是一道中档题．