Question

如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=

2

，BC=

2

2

，AA₁=1，E是C₁D₁的中点，求证：平面AA₁E⊥平面BB₁E．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁E⊥平面BB₁E，即可证明平面AA₁E⊥平面BB₁E．

解答： 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（

2

2

，0，0），E（0，

2

2

，1），B（

2

2

，

2

，0），A₁（

2

2

，0，1），B₁（

2

2

，

2

，1）
∴

BE

=（-

2

2

，

2

2

-

2

，1），

A1E

=（-

2

2

，

2

2

，0），

B1E

=（-

2

2

，

2

2

-

2

，0）
∵

A1E

•

BE

=0，

A1E

•

B1E

=0，
∴A₁E⊥BE，A₁E⊥B₁E，
∴A₁E⊥平面BB₁E
∵A₁E?平面AA₁E
∴平面AA₁E⊥平面BB₁E

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，平面与平面垂直的判定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基本知识的考查．