Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d=2，S₁₀=120．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若${b_n}={\sqrt{3}^{{a_n}-1}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：（1）由等差数列{a_n}得：${S_{10}}=10{a_1}+\frac{10×9}{2}×2=120$，从而a₁=3，
∴{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1；
（2）${b_n}={\sqrt{3}^{{a_n}-1}}={3^n}$，而$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{3^{n+1}}}}{3^n}=3$，
∴数列{b_n}是以b₁=3为首项，q=3为公比的等比数列，
∴{b_n}的前n项和为${T_n}=\frac{{{a_1}（{1-{q^n}}）}}{1-q}=\frac{{3×（{1-{3^n}}）}}{1-3}=\frac{3}{2}（{{3^n}-1}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．