Question

3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0．求证：A，B，C成等差数列．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，整理后得到cosB=$\frac{1}{2}$，从而可证明sin2B=sin（A+C），可得2B=A+C，即可证明A，B，C成等差数列；

解答 证明：∵bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，
∴利用正弦定理化简得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC-sinA-sinC=0，…①
即sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1），
∴$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$；
∴cosB=$\frac{1}{2}$
∴sin2B=2sinBcosB=sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）
∴2B=A+C
∴A，B，C成等差数列．

点评 本题主要考查等差数列的证明，利用两角和与差的正弦函数公式，正弦定理是解决本题的关键．综合性较强．