Question

8．已知函数f（x）=sin⁴ωx-cos⁴ωx+2sinωxcosωx（ω＞0），点M，N是f（x）图象的两个相邻的对称中心，点H是f（x）图象的一个最高点，三角形MNH的面积为$\frac{\sqrt{2}π}{4}$．
（1）求ω的值以及函数f（x）的单调递增区间；
（2）锐角三角形ABC，边c=2，所对角C满足f（C）=1，求其面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数，利用三角形MNH的面积为$\frac{\sqrt{2}π}{4}$，求ω的值，可得函数f（x）的单调递增区间；
（2）锐角三角形ABC，边c=2，所对角C满足f（C）=1，S=$\frac{1}{2}absinC$=2$\sqrt{2}$sinAsinB=$\sqrt{2}$cos（A-B）+1=$\sqrt{2}$cos（2A-135°），即可求其面积S的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=sin⁴ωx-cos⁴ωx+2sinωxcosωx=sin2ωx-cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$），
∵三角形MNH的面积为$\frac{\sqrt{2}π}{4}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{π}{2ω}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}π}{4}$，
∴ω=1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）；
（2）由题意，sin（2C-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，三角形ABC是锐角三角形，
∴2C-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，∴C=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理可得2R=$\frac{c}{sinC}$=2$\sqrt{2}$，
S=$\frac{1}{2}absinC$=2$\sqrt{2}$sinAsinB=$\sqrt{2}$cos（A-B）+1=$\sqrt{2}$cos（2A-135°），
∵0°＜A＜90°，0°＜135°-A＜90°，
∴45°＜A＜90°，
∴-45°＜2A-135°＜45°，
∴1＜S≤$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图形与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．