Question

9．已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）证明：f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；
（3）若f（2x）＞f（x+3），试求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0即可求出f（0）．
（2）根据函数单调性的定义，作差，利用所给恒等式进行变形，判断f（x₁）与f（x₂）的大小，进而证明出f（x）的单调性；
（3）根据函数的单调性，去掉“f”，列出关于x的不等式，解之即可求得x的取值范围．

解答 （1）证明：显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．
又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增． 
（3）解：由（2）知，函数f（x）在R上单调递增，
∵f（2x）＞f（x+3），
∴2x＞x+3，
∴x＞3．

点评 本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，对于定义法证明函数的单调性，关键是判断出作差的正负，本题的关键就是如何构造作差，使得其能判断符号．属于中档题．