Question

4．已知x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2k（x+$\frac{1}{x}$）+k²+1=0有正实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 化简可得（x+$\frac{1}{x}$）²+2k（x+$\frac{1}{x}$）+k²-1=0，从而化为x²+2kx+k²-1=0在[2，+∞）上有解，从而确定．

解答 解：∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2k（x+$\frac{1}{x}$）+k²+1=0，
∴（x+$\frac{1}{x}$）²+2k（x+$\frac{1}{x}$）+k²-1=0，
∵当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，
∴x²+2kx+k²-1=0在[2，+∞）上有解，
即（x+k-1）（x+k+1）=0，
故-k+1∈[2，+∞）或-k-1∈[2，+∞），
故-k+1≥2，
故k≤-1．

点评 本题考查了整体代换的应用及方程的解的应用．