Question

椭圆的长轴长为4，焦距为2，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点
（1）求椭圆的标准方程和动点的轨迹的方程。
（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求的面积。
（3）设轨迹与轴交于点，不同的两点在轨迹上，
满足求证：直线恒过轴上的定点。

Answer 1

解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2，2c=2，即c=1，
故椭圆方程为，      ………2分
∵MP=MF₂，
∴动点M到定直线的距离等于它到定点F₁（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l₁准线，F₂为焦点的抛物线 
∴点M的轨迹C₂的方程为   …………5分
（2） 消去 并整理得： 
设 则  ---------------7分
 =-----------9分
（3）Q（0，0），设    ------------10分
  
         ---------------------------11分
 
 
 ----------------13  分        
故直线RS恒过定点（4，0）-------------------------------------------------------14分

略