Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F（c，0），若⊙C：（x-c）²+y²=2a²与双曲线的渐近线有公共点，则该双曲线的离心率的范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，由直线和圆有公共点的条件为：d≤r，运用点到直线的距离公式，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到范围．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
由圆（x-c）²+y²=2a²与双曲线的渐近线有公共点，
得d≤r，即有

|bc|

a2+b2

≤

2

a，

bc

c

≤

2

a，即有b²≤2a²，
即c²-a²≤2a²，c²≤3a²，
则e≤

3

，
由e＞1，则1＜e≤

3

．
故答案为：（1，

3

]．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．