Question

设命题p：?x∈R，x²+x≥a；命题q：?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0，如果命题p真且命题q假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：?x∈R，x²+x≥a，可得a≤（x²+x）_min，利用二次函数的单调性即可得出；命题q：?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0，可得△≥0．再利用命题p真且命题q假，即可得出．

解答： 解：命题p：?x∈R，x²+x≥a，∴a≤（x²+x）_min=[(x+

1

2

)2-

1

4

]min=-

1

4

，∴a≤-

1

4

；
命题q：?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0，∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≥1或a≤-2．
∵命题p真且命题q假，∴

a≤- 1 4 a≤-2或a≥1

，解得a≤-2．
∴a的取值范围是a≤-2．

点评：本题考查了二次函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定，属于基础题．