Question

如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.

（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）由侧面，均为正方形可证明三棱柱是直三棱柱. 又点是棱的中点可证明.从而通过线面垂直的判定定理可证⊥平面；（Ⅱ）连结，交于点，连结，通过三角形中位线的知识证明线线平行，从而由线面平行的判定定理得到平面；(Ⅲ)根据题中相关垂直条件构建空间直角坐标系.再找平面的法向量及平面的法向量，计算法向量的夹角，通过比较得到二面角的平面角，从而得到所求.
试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　     1分
因为平面，所以，　　 2分
又因为，为中点，
所以.                 3分
因为,
所以平面.          4分
（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，
因为为正方形，所以为中点，
又为中点，所以为中位线，
所以，             6分
因为平面，平面，
所以平面.        8分

(Ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， ，
所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.
设，则.
，            9分
设平面的法向量为，则有
取，得.                                   10分
又因为平面，所以平面的法向量为，
设二面角的平面角为，则
∴           11分
所以，二面角的余弦值为.            12分