Question

【题目】已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明: 对于任意的 成立.

Answer 1

【答案】
（1）解： 的定义域为 ； .
当 ， 时， ， 单调递增； ， 单调递减.当 时， .
① ， ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
②a=2时， ，在 内， ， 单调递增；
③ 时， ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
综上所述，
当 时，函数 在 内单调递增，在 内单调递减；
当 时， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递增；
当 ， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增.
（2）解：由（Ⅰ）知，a=1时，

， ，
令 ， .
则 ，
由 可得 ，当且仅当x=1时取得等号.
又 ，
设 ，则 在 单调递减，因为 ，
所以在 上存在 使得 时， 时， ，
所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减，
由于 ，因此 ，当且仅当x=2取得等号，
所以 ，
即 对于任意的 恒成立
【解析】（1）主要考查利用导数讨论函数的单调性问题，根据已知条件先求符合函数的导数， ， 再根据导数的性质对参数a进行分类讨论，利用导数的性质判读函数的单调性。（2）主要考查利用导数求解函数的最值问题，所以首先要对函数进行变形，把不等式转化为对于任意的恒成立，也就是不等式左边的新函数的最小值大于即可，所以关键就是求函数的最小值的问题，因此要构造新函数, ， 分别求函数的最小值和最大值，进而求出函数的最小值即可得到结论。
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．