Question

【题目】已知函数 ， ，其中 ．
（1）当 时，求函数 的单调递减区间；
（2）若对任意的 ， （ 为自然对数的底数）都有 成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时，
解得 或 ，
则函数 的单调递减区间为 ，
（2）解：对任意的 都有 成立等价于在定义域 内有 ．
当 时， ．
∴函数 在 上是增函数．
∴ ．
∵ ，且 ， ．
①当 且 时， ，(仅在 且 时取等号)
∴函数 在 上是增函数，
∴ .
由 ，得 ，
又 ，∴ 不合题意．
②当 时，
若 ，则 ，
若 ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ . 由 ，得 ，
又 ，∴ ．
③当 且 时， ，(仅在 且 时取等号)
∴函数 在 上是减函数．
∴ .
由 ，得 ，
又 ，∴ ．
综上所述：
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题等价于在定义域[1，e]内有f（x）min≥g（x）max ， 通过讨论a的范围分别求出f（x），g（x）的最值，求出a的范围即可．