Question

10．已知函数f（x）=${log_{\frac{1}{3}}}（{x^2}-ax+3a）$在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． [2，+∞）
• C． $[-\frac{1}{2}，2]$
• D． $（-\frac{1}{2}，2]$

Answer 1

分析 可看出该函数是由t=x²-ax+3a和$y=lo{g}_{\frac{1}{3}}t$复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a的不等式组，解出a的取值范围即可．

解答 解：设y=f（x），令x²-ax+3a=t，则$y=lo{g}_{\frac{1}{3}}t$单调递减；
∵f（x）在[1，+∞）上单调递减；
∴t=x²-ax+3a在[1，+∞）上单调递增，且满足t＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{{1}^{2}-a•1+3a＞0}\end{array}\right.$；
解得，$-\frac{1}{2}＜a≤2$；
∴实数a的取值范围是$（-\frac{1}{2}，2]$．
故选D．

点评 本题考查二次函数、对数函数和复合函数的单调性，以及复合函数的定义，对数函数的定义域．