Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2AD，平面PDA⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥CD，PD⊥AD，从而PD⊥平面ABCD，由此能证明PD⊥BD．
（2）设PD=AD=1，则AB=2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2AD，
平面PDA⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，
∴CD⊥AD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，
∵平面PCD∩平面ABCD=CD，∴AD⊥平面PDC，∴PD⊥AD，
∵AD∩CD=D，∴PD⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴PD⊥BD．
解：（2）设PD=AD=1，则AB=2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DC为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-1），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，2），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=a+2b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=2b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
设二面角A-PB-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5}{\sqrt{9}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．