Question

4．已知m，n∈N^*且1＜m＜n，试用导数证明不等式：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

分析 根据（1+m）ⁿ＞（1+n）^m两边取对数，化为$\frac{ln（1+m）}{m}$＞$\frac{ln（1+n）}{n}$；设f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0），利用导数判断函数f（x）的单调性，从而证明不等式成立．

解答 证明：由（1+m）ⁿ＞（1+n）^m，两边取对数，
得nln（1+m）＞mln（1+n），
又m，n∈N^*则$\frac{ln（1+m）}{m}$＞$\frac{ln（1+n）}{n}$；
设f（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$（x＞0），
则f′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$，
设g（x）=$\frac{x}{1+x}$-ln（1+x），
则g′（x）=$\frac{1}{{（1+x）}^{2}}$-$\frac{1}{1+x}$=-$\frac{x}{{（1+x）}^{2}}$＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上是单调减函数，
所以g（x）＜g（0）=0，
所以f′（x）=$\frac{g（x）}{{x}^{2}}$＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上是单调减函数；
所以1＜m＜n时，g（m）＞g（n），
即$\frac{ln（1+m）}{m}$＞$\frac{ln（1+n）}{n}$，
即：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

点评 本题考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性证明不等式成立的问题，是综合性题目．