Question

如图，在三棱柱中，底面，，，分别是棱，的中点，为棱上的一点，且//平面.
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）二面角的余弦值为.

试题分析：（1）求的值，关键是找在的位置，注意到平面，有线面平行的性质，可得，由已知为中点，由平面几何知识可得为中点，从而可得的值；（2）求证：，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于底面，所以，，又，这样建立空间坐标比较简单，故以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，取，可写出个点坐标，从而得向量的坐标，证即可；（3）求二面角的余弦值，由题意可得向量是平面的一个法向量，只需求出平面的一个法向量，可设平面的法向量，利用，即可求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值．
（1）因为平面
又平面，平面平面，
所以.                          3分
因为为中点，且侧面为平行四边形
所以为中点，所以.                4分
（2）因为底面，
所以，，                                      5分
又，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得                  6分
因为分别是的中点，
所以.                                      7分
.                    8分
所以，
所以.                                         9分

（3）设平面的法向量，则
即                10分
令，则，所以.                11分
由已知可得平面的法向量                    11分
所以                    13分
由题意知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.                    14分