Question

如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，，，面，设为中点，点在线段上且．

（1）求证：平面；
（2）设二面角的大小为，若，求的长．

Answer 1

( 1 )证明过程详见解析;(2) .

试题分析：
(1)利用三角形的余弦定理和勾股定理即可证明为直角三角形,即.再根据垂直的判断可以得到相互垂直,即可以以这三条边建立三维空间直角坐标系,利用坐标法来证明线面平行,首先求出平面ACF的法向量,计算法向量与BE的内积,证明该内积为0即可得到线面平行.
(2)利用第(1)问平面ACF的法向量,再求出面DCF的法向量,则二面角即为两法向量所成角或者其补角,故两法向量夹角的余弦值为满足,即可求出PA的长度.
试题解析：
（1）由，得，．
又面，所以以分别为轴建立坐标系如图．
则
设，则 ．
设，得：
．
解得：，，，
所以．                               5分
所以,，．
设面的法向量为，则，取．
因为，且面，所以平面． 9分

（2）设面法向量为， 因为，，
所以，取 ．             11分
由，得．
，，所以．               15分