Question

已知曲线：在点（）处的切线的斜率为，直线交轴，轴分别于点，，且．给出以下结论：

①；

②当时，的最小值为；

③当时，；

④当时，记数列的前项和为，则．

其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）

Answer 1

①③④

【解析】由题意，点P在抛物线C的上半部分，即曲线y＝上

y'＝，当x＝0时，有l0＝，又l0与两坐标轴的截距绝对值相等，则l0＝±1

所以＝1（负值舍去），于是a＝1. ①正确;

由a＝1，有y＝，且y'＝，

于是在点Pn（n，）出的切线方程为y－＝（x－n）

令x＝0，得yn＝

因为n∈N*，故n＝1时，yn取得最小值，②错误.

∵kn＝（n∈N*），令t＝∈（0，]

设函数f（t）＝t－sint，则f '（t）＝1－cost

∵0＜t≤＜，故cost＞，于是f '（t）＜0，即f（t）为减函数

而f（0）＝0，故t∈（0，]时，f（t）＜0，即t＜sint

也即kn＝＜sin，③正确.

由kn＝，设m＝

则m2＝

故kn＝＜

故Sn＝

＜

＝，故④正确

考点：函数、导数、数列、不等式等综合应用