Question

设函数f(x)＝|x²－4x－5|．

(1)在区间[－2，6]上画出函数f(x)的图像(如图)；

(2)设集合A＝{x|f(x)≥5}，B＝(－∞，－2]∪[0，4]∪[6，＋∞)．试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；

(3)当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)f(x)＝|x2－4x－5|＝其图像如图所示． 　　(2)方程f(x)＝5的解分别是x＝2，0，4，2＋，观察上图， 　　可得f(x)≥5的解是x≤2，或0≤x≤4，或x≥2＋． 　　则A＝{x|x≤2，或0≤x≤4，或x≥2＋}． 　　∵2＋＜6，2＞－2， 　　∴BA． 　　(3)当x∈[－1，5]时，f(x)＝－x2＋4x＋5．设g(x)＝kx＋3k－f(x)， 　　则g(x)＝kx＋3k－(－x2＋4x＋5)＝x2＋(k－4)x＋(3k－5)＝(x)2．∵k＞2，∴＜1．又－1≤x≤5， 　　①当－1≤＜1，即2＜k≤6时，取x＝， 　　g(x)min＝[(k－10)2－64]． 　　∵16≤(k－10)2＜64，∴(k－10)2－64＜0．则g(x)min＞0． 　　②当＜－1，即k＞6时，取x＝－1，g(x)min＝2k＞0． 　　由①②，可知当k＞2时，在x∈[－1，5]上，g(x)＞0． 　　因此，在区间[－1，5]上，y＝k(x＋3)的图像位于函数f(x)图像的上方．

提示：

(1)可以利用对称变换作图法或将函数的解析式化为分段函数；(2)利用图像解不等式f(x)≥5；应用定义证明集合A和B之间的关系；(3)转化为证明：当k＞2时，在x∈[－1，5]上，kx＋3k－f(x)＞0恒成立即可．