Question

20．函数f（x）=$\sqrt{（x+3）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-5）^{2}+4}$，则函数f（x）的值域是（　　）

• A． [$\sqrt{73}$，+∞）
• B． （+∞，$\sqrt{73}$]
• C． [-$\sqrt{73}$，$\sqrt{73}$]
• D． [-$\sqrt{36}$，$\sqrt{36}$]

Answer 1

分析 f（x）变成：f（x）=$\sqrt{[x-（-3）]^{2}+（0-1）^{2}}$$+\sqrt{（x-5）^{2}+（0-2）^{2}}$，从而f（x）表示点P（x，0）到点A（-3，1）和B（5，2）的距离和，可画出图形，作A关于x轴的对称点C，|BC|便是f（x）的最小值，并可以到无穷大，这样便可得出原函数的值域．

解答 解：f（x）=$\sqrt{（x+3）^{2}+1}+\sqrt{（x-5）^{2}+4}$=$\sqrt{[x-（-3）]^{2}+（0-1）^{2}}$$+\sqrt{（x-5）^{2}+（0-2）^{2}}$；
∴f（x）表示点（x，0），到点（-3，1）和（5，2）的距离的和，设P（x，0），A（-3，1），B（5，2），如图所示：

作A关于x轴的对称点C（-3，-1）；
∴|BC|=$\sqrt{64+9}=\sqrt{73}$是|PA|+|PB|，即f（x）的最小值，并且可到无穷大；
∴原函数的值域为$[\sqrt{73}，+∞）$．
故选：A．

点评 考查函数值域的概念，平面上两点间的距离公式，将函数值域的求解转化为几何问题的方法．