Question

15．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{3+x}{4-x}$；
（2）y=$\frac{5}{2{x}^{2}-4x+3}$；
（3）y=$\sqrt{1-2x}$-x；
（4）y=4-$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）原函数变成y=$-1+\frac{7}{4-x}$，从而有y≠-1；
（2）容易得到2x²-4x+3≥1，从而可得出$\frac{1}{2{x}^{2}-4x+3}$的范围，从而求出原函数的值域；
（3）求导，可得到y′＜0，从而该函数在（$-∞，\frac{1}{2}$]上单调递减，这样即可得出该函数的值域；
（4）能够得到0≤3+2x-x²≤4，从而可得到$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$的范围，从而得出原函数的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{3+x}{4-x}=\frac{-（4-x）+7}{4-x}=-1+\frac{7}{4-x}$；
$\frac{7}{4-x}≠0$；
∴y≠-1；
∴原函数的值域为：{y|y≠-1}；
（2）2x²-4x+3=2（x-1）²+1≥1；
∴$0＜\frac{1}{2{x}^{2}-4x+3}≤1$；
∴0＜y≤5；
∴原函数的值域为：（0，5]；
（3）$y′=-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}-1＜0$；
∴原函数在$（-∞，\frac{1}{2}]$上单调递减，设y=f（x），则：
f（x）$≥f（\frac{1}{2}）=-\frac{1}{2}$；
∴原函数的值域为：[$-\frac{1}{2}$，+∞）；
（4）0≤3+2x-x²=-（x-1）²+4≤4；
∴$0≤\sqrt{3+2x-{x}^{2}}≤2$；
∴2≤y≤4；
∴原函数的值域为：[2，4]．

点评 考查函数值域的概念，分离常数求函数值域的方法，配方求二次函数的值域，根据导数符号判断函数的单调性，以及根据函数单调性求函数值域．