题目内容
定义域为
的函数
，如果对于区间
内
的任意两个数
、
都有
成立，则称此函数在区间上是“凸函数”．
（1）判断函数
在
上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数
在
上是“凸函数”，求实数
的取值范围；
（3）对于区间
上的“凸函数”，在上任取，，
，……，
．
① 证明：当
（
）时，
成立；
② 请再选一个与①不同的且大于1的整数
，
证明：也成立．
解：（1）设，是上的任意两个数，则
．函数在上是 “凸函数”．
（2）对于
上的任意两个数，，均有成立，即
，整理得
若
，可以取任意值．
若
，得
，
，
．
综上所述得．
（3）①当
时由已知得成立．
假设当
时，不等式成立即
成立．
那么，由
，
得
．
即
时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．
②比如证明
不等式成立．由①知
，
，
，
，
有
成立．
，，，
，
，
从而得
．
练习册系列答案
相关题目
的定义域为集合
，函数
的定义域为集合
.若
，求实数
的取值范围.
的棱长是3，点
、
分别是棱
、
的中点，则异面直线
与
所成角的大小等于 ．
的棱上到异面直线
，
的距离相等的点的个数为（ ）
2 
3 
4 
5 
中，角
，
，
所对的边长分别为
，，向量
，
，且
．
，求
满足
，则复数
是半径为
的球面上的四个不同点，且满足
，
，
，用
分别表示△
、△
、△
的面积，则
的最大值是 .
的定义域为
，若存在常数
，使得
对一切实数
均成立，则称
为“圆锥托底型”函数．
，
是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．
是“圆锥托底型”函数，求出
的最大值．
的二项展开式中含
项的系数为
，则
_________.