Question

（2013•盐城三模）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为

1

3

，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p_n．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）求证：

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

．

Answer 1

分析：（1）通过棋子移动结合路径直接求出p₁，利用棋子移动的情况直接求解p₂的值；
（2）通过棋子移动通过数列是等比数列求出p_n．然后利用数学归纳法证明

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

．在证明n=k+1时，利用分析法证明即可．

解答：解：（1）棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点，棋子从A出发．由3条路径，所以p₁=

2

3

．
棋子移动两次，还在上底面时，有两种可能，p₂=

2

3

×

2

3

+

1

3

(1-

2

3

)=

5

9

．
（2）因为移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率为p_n．
故落在下底面顶点的概率为1-p_n．
于是，移了n+1次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p_n+1=

2

3

pn+

1

3

(1-pn)=

1

3

pn+

1

3

，从而p_n+1-

1

2

=

1

3

(pn-

1

2

)，
所以数列{pn-

1

2

}是等比数列，首项为

1

6

公比为

1

3

，所以pn-

1

2

=

1

6

×(

1

3

)n-1，
用数学归纳法证明：

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

．
①当n=1时左式=

1

4× 2 3 -1

=

3

5

，右式=

1

2

，因为

3

5

＞

1

2

，所以不等式成立．
当n=2时，左式=

1

4× 2 3 -1

+

1

4× 5 9 -1

=

78

55

，右式=

4

3

，所以不等式成立；
②假设n=k（k≥2）不等式成立，即

k

i=1

1

4pi-1

＞

k2

k+1

．
则n=k+1时，左式=

k

i=1

1

4pi-1

+

1

4pk+1-1

＞

k2

k+1

+

1

4( 1 2 + 1 2 × 1 3k+1 )-1

=

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

，
要证

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

≥

(k+1)2

k+2

，
只要证

3k+1

3k+1+2

≥

(k+1)2

k+2

-

k2

k+1

，
即证：

3k+1

3k+1+2

≥

k2+3k+1

k2+3k+2

，
只要证

2

3k+1

≤

1

k2+3k+1

，
只要证3^k+1≥2k²+6k+2，
因为k≥2，所以3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+

4C

2 k

)=6k²+3=2k²+6k+2+2k（2k-3）+1＞2k²+6k+2
所以

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

≥

(k+1)2

k+2

，
即n=k+1时不等式也成立，由①②可知

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

对任意n∈N^*都成立．

点评：本题考查概率的应用，概率与数列相结合，数学归纳法与分析法证明不等式的应用，考查逻辑推理能力与分析问题解决问题的能力．