Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃；
（2）求证：数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是等差数列；
（3）求出数列{a_n}的前n项之和S_n．

Answer 1

分析 （1）令n=2，3，代入即可得到所求值；
（2）对条件两边同除以2ⁿ，再由等差数列的定义即可得证；
（3）由等差数列的通项公式，可得a_n=（2n-1）•2^n-1，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）由a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*），
可得a₂=2a₁+2=4；
a₃=2a₂+4=2×4+4=12；
（2）证明：由a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N^*），
可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
即有数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是首项为$\frac{1}{2}$，公差为1的等差数列；
（3）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+n-1=$\frac{2n-1}{2}$，
即有a_n=（2n-1）•2^n-1，
前n项之和S_n=1•1+3•2+5•4+…+（2n-1）•2^n-1，
2S_n=1•2+3•4+5•8+…+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减可得，-S_n=1+2（2+4+8+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ，
化简可得，S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．