Question

5．已知f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，
①若ω=1，函数f（x）的对称中心是$（kπ-\frac{π}{4}，0）（k∈z）$；
②若函数f（x）在区间（-ω，ω）内单调递增，且其图象关于直线x=ω对称，则ω的值为$\frac{\sqrt{π}}{2}$．

Answer 1

分析 ①由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），结合正弦函数图象解答．
②由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：-ω≥$\frac{2kπ-\frac{3π}{4}}{ω}$①，ω≤$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函数f（x）的对称轴为：x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$，k∈Z，结合已知可得：ω²=$\frac{π}{4}$，从而可求ω的值．

解答 解：①若ω=1，f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
则x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
故x=kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z），
所以函数f（x）的对称中心是$（kπ-\frac{π}{4}，0）（k∈z）$．
故答案是：$（kπ-\frac{π}{4}，0）（k∈z）$；
②∵f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
∵函数f（x）在区间（-ω，ω）内单调递增，ω＞0
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[$\frac{2kπ-\frac{3π}{4}}{ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$]，k∈Z，
∴可得：：-ω≥$\frac{2kπ-\frac{3π}{4}}{ω}$①，ω≤$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$②，k∈Z，
∴解得：0＜ω²≤$\frac{3π}{4}$-2kπ且0＜ω²≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
解得：-$\frac{1}{8}$＜k＜$\frac{3}{8}$，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又∵由ωx+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函数f（x）的对称轴为：x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$，k∈Z，
∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω²=$\frac{π}{4}$，可解得：ω=$\frac{\sqrt{π}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{π}}{2}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．