Question

（本小题共13分）

已知函数，数列中，，．当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列1，3，，，…；当时，得到常数列2，2，2，…；当时，得到有穷数列，0．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）设数列满足，．求证：不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列；

（Ⅲ）若当时，都有，求的取值范围．

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 ，且，

所以 ． 同理可得，即．                  ………………………3分

（Ⅱ）证明：假设为数列中的第项，即；则

；

；

………

；

， 即。

故不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列．        ………………………8分

（Ⅲ）因为，且，

所以 ．

又因为当时， ，

即，

所以 当时，有．                            ………………………13分