题目内容
(本小题共13分)
已知函数
(I)若x=1为的极值点,求a的值;
(II)若的图象在点(1,)处的切线方程为,
(i)求在区间[-2,4]上的最大值;
(ii)求函数的单调区间.
(I)0或2
(II)(i)8
(ii)当m=2时,G(x)在(-∞,+∞)单调递减;
时,G(x)在(-∞,2-m),(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增;
时,G(x)在(-∞,0),(2-m,+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增.
解析:
(I)
是极值点
,即
或2.…………………………………………………………3分
(II)在上.
∵(1,2)在上
又
(i)由可知x=0和x=2是的极值点.
在区间[-2,4]上的最大值为8.…………………………8分
(ii)
令,得
当m=2时,,此时在单调递减
当时:
x | (-∞,2,-m) | 2-m | (2-m,0) | 0 | (0,+∞) |
G′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
G(x) | 减 | 增 | 减 |
当时G(x)在(-∞,2,-m),(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增.
当时:
x | (-∞,0) | 0 | (0,2-m) | 2-m | (2-m+∞) |
G′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
G(x) | 减 | 增 | 减 |
此时G(x)在(-∞,0),(2-m+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增,综上所述:当m=2时,G(x)在(-∞,+∞)单调递减;
时,G(x)在(-∞,2-m),(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增;
时,G(x)在(-∞,0),(2-m,+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增.
………………………………………………………………13分