题目内容

(本小题共13分)

已知函数

   (I)若x=1为的极值点,求a的值;

   (II)若的图象在点(1,)处的切线方程为

(i)求在区间[-2,4]上的最大值;

(ii)求函数的单调区间.

(I)0或2

(II)(i)8

(ii)当m=2时,G(x)在(-∞,+∞)单调递减;

时,G(x)在(-∞,2-m),(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增;

时,G(x)在(-∞,0),(2-m,+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增.


解析:

(I)

       是极值点

       ,即

       或2.…………………………………………………………3分

(II)上.

     ∵(1,2)在上  

     又

    

    

 (i)由可知x=0和x=2是的极值点.

    

     在区间[-2,4]上的最大值为8.…………………………8分

 (ii)

     

      令,得

      当m=2时,,此时单调递减

      当时:     

x

(-∞,2,-m)

2-m

(2-m,0)

0

(0,+∞)

G′(x

0

+

0

G(x

当时G(x)在(-∞,2,-m),(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增.

时:

x

(-∞,0)

0

(0,2-m)

2-m

(2-m+∞)

G′(x

0

+

0

G(x

    此时G(x)在(-∞,0),(2-m+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增,综上所述:当m=2时,G(x)在(-∞,+∞)单调递减;

时,G(x)在(-∞,2-m),(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增;

时,G(x)在(-∞,0),(2-m,+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增.

                     ………………………………………………………………13分

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