Question

已知函数f（x）=x³+3x²-9x+m（m∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的极值（用含m的式子表示）；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴有3个不同交点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）令f'（x）=3x²+6x-9=3（x²+2x-3）=0，得：x=1或-3，由此利用导数性质能求出f（x）的极值．
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴有3个不同交点，则

f极大值(x)=f(-3)＞0 f 极小值(x)=f(1)＜0

，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+3x²-9x+m（m∈R）．
∴令f'（x）=3x²+6x-9=3（x²+2x-3）=0，
得：x=1或-3…（2分）
当x＞1或x＜-3时，f'（x）＞0；
当1＜x＜3时，f'（x）＜0；
故f（x）在区间（1，+∞），（-∞，-3）单调递增；在区间（-3，1）单调递减…（4分）
于是f（x）的极大值f（-3）=27+m，极小值为f（1）=-5+m…（6分）
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴有3个不同交点，
则

f极大值(x)=f(-3)＞0 f 极小值(x)=f(1)＜0

…（8分）
即

27+m＞0 -5+m＜0

…（10分）
得-27＜m＜5，
∴m的取值范围是（-27，5）．…（12分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的极值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．