Question

已知函数f（x）=x+

1

x

+alnx的图象上任意一点的切线中，斜率为2的切线有且仅有一条．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2x的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1-

1

x2

+

a

x

=

x2+ax-1

x2

．由此利用导数性质能求出a．
（Ⅱ）g(x)=3x+

1

x

+2lnx，其定义域为（0，+∞），g′(x)=3-

1

x2

+

2

x

=

3x2+2x-1

x2

．由此利用导数性质能求出函数g（x）=f（x）+2x的极值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x+

1

x

+alnx，
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=1-

1

x2

+

a

x

=

x2+ax-1

x2

．
设函数f（x）在点（x₀，y₀）处的切线的斜率为2，
则

x 2 0 +ax0-1

x 2 0

=2，
即

x

2 0

-ax0+1=0．
欲使该方程在x∈（0，+∞）内有且仅有一根，
应满足

a＞0 △=a2-4=0

，解得a=2．
（Ⅱ）g(x)=3x+

1

x

+2lnx，其定义域为（0，+∞），
g′(x)=3-

1

x2

+

2

x

=

3x2+2x-1

x2

．g'（x）＞0，解得x＞

1

3

；
g'（x）＜0，解得0＜x＜

1

3

．
所以函数g（x）的单调递增区间为(

1

3

，+∞)，递减区间为(0，

1

3

)
所以函数有极小值g(

1

3

)=4-2ln3．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．