Question

1．命题p：“关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0，（a＞0）的解集为∅”，命题q：“在区间[-2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤a（a＞0）的概率$P≥\frac{5}{6}$”，当“p∧q”与“p∨q”一真一假时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 当“p∧q”与“p∨q”一真一假时，则p与q一真一假时，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：命题p：因为关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅
所以：x²+（a-1）x+a²=0对应的△＜0即：3a²+2a-1＞0，
即：a＜-1或$a＞\frac{1}{3}$，又a＞0，所以：$a＞\frac{1}{3}$
命题q：“在区间[-2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤a（a＞0）的概率$P≥\frac{5}{6}$”
因为|x|≤a（a＞0），所以-a＜x＜a
当a≤2时，则$P≤\frac{2}{3}$不满足条件，
当a＞2时，则$P=\frac{a-（-2）}{6}≥\frac{5}{6}$，所以a≥3
当“p∧q”与“p∨q”一真一假时，则p与q一真一假时，
当p真q假时，a∈$（\frac{1}{3}，3）$，
当p假q值时，不存在满足条件的a值，
综上可得到实数a的取值范围：$（\frac{1}{3}，3）$．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次不等式的解法，几何概型难度中档．