Question

18．已知定义在R上的偶函数f（x），当x∈（-∞，0]时的解析式为f（x）=x²+2x
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象并直接写出它的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由已知中，x∈（-∞，0]时的解析式为f（x）=x²+2x，我们可由x＞0时，-x＜0，代入求出f（-x），进而根据y=f（x）是偶函数，得到x＞0时，f（x）的解析式；
（2）根据分段函数分段画的原则，结合（1）中函数的解析式，我们易画出函数的图象，结合图象，我们根据从左到右图象上升，函数为增函数，图象下降，函数为减函数的原则，得到函数的单调性．

解答 解：（1）当x＞0时，-x＜0，f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x
又f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）
∴f（x）=x²-2x
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x＞0\\{x^2}+2x，x≤0\end{array}\right.$…（6分）
（2）

…（9分）
单调递增区间为：（-1，0），（1，+∞）
单调递减区间为：（0，1），（-∞，-1）…（13分）

点评 本题考查的知识点是偶函数，函数解析式的求解，函数图象的作法，图象法判断函数的单调性，其中根据偶函数的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键．