Question

已知函数f（x）=x²+alnx
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求常数a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+

2

x

在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，由题意得，f′（1）=0，求出a，并检验；
（2）写出g（x）的表达式，求出导数，由于函数g（x）=f（x）+

2

x

在[1，4]上是减函数，则g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，分离参数得，-a≥2x²-

2

x

，构造h（x）=2x²-

2

x

，求出最大值即可．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+

a

x

（x＞0），
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，即2+a=0，a=-2，
检验x=1处d导数左负右正，故为极值，
∴a=-2；
（2）g（x）=f（x）+

2

x

=x²+alnx+

2

x

（x＞0）
∴g′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，
由于函数g（x）=f（x）+

2

x

在[1，4]上是减函数，
则g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，
即有2x³+ax-2≤0，
-a≥2x²-

2

x

，令h（x）=2x²-

2

x

，h′（x）=4x+

2

x2

＞0在[1，4]上成立，
即h（x）在[1，4]上递增，h（4）最大，且为

63

2

．
∴-a≥

63

2

，即a≤-

63

2

．

点评：本题考查导数的综合运用：求极值、求单调区间和最值，考查参数分离，构造函数，运用导数，求最值，属于中档题．